સંકલન int_{1}^{e} left( left( frac{x}{e} righ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$. પ્રથમ સંકલન માટે,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ લો. તેથી $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, u = e^{-2}$ અને જ્યારે $x=e, u = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$. બીજા સંકલન માટે,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ લો. તેથી $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, v = e$ અને જ્યારે $x=e, v = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$. કુલ કિંમત: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

સંકલન $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} = $

$ \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx = $

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}-\cos ^{2} \frac{x}{2}\right) d x$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_{n}=\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{n} x d x$ હોય,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તો $I_{10}+I_{8}$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R$ માટે વિધેય $f(x) = \int\limits_0^1 {t\,\sin \left( {x + \pi t} \right)} dt$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module